Zerstörungsfreie Materialprüfung
Berlin, 21.-23. Mai 2001 -Berichtsband 75-CD
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Nichtlineare akustische Prüfverfahren zeigen eine bemerkenswerte Empfindlichkeit bei der Bestimmung des Schädigungszustandes unterschiedlicher Materialien, wie z.B. Beton und Keramik. Um die Grundlagen der Ausbreitung nichtlinear-elastischer Wellen endlicher Amplitude sowie von Wellen im elastisch deformierten Festkörper im Detail studieren zu können, wurde die aus der linearen Theorie bekannte Elastodynamische Finite Integrationstechnik (EFIT) zur Modellierung elastischer Wellenausbreitungs- und Streuprobleme [1, 2] auf den nichtlinearen Fall erweitert. Dieser NL-EFIT-Code beruht auf der klassischen Fünf-Konstanten-Theorie (Elastizität dritter Ordnung) und ist in der Lage, verschiedene für die zerstörungsfreie Prüfung wichtige nichtlineare Effekte wiederzugeben. Dazu gehören die Erzeugung höherer Harmonischer in Wellen endlicher Amplitude sowie die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit von der elastischen Deformation. Neben dem klassischen Kontinuumsansatz werden erste Ergebnisse im Rahmen eines alternativen Mikrostrukturmodells vorgestellt, bei dem sich öffnende und schließende Risse sowie hysteretische Elemente in der Kontaktzone zwischen zwei Körnern explizit berücksichtigt werden können.
Die überwiegende Mehrzahl der auf der Ausbreitung und Streuung elastischer Wellen basierenden zerstörungsfreien Prüfverfahren nutzt heute lineare Effekte der Wellenausbreitung zur Fehlstellendetektion und Materialcharakterisierung aus. Insbesondere bei der Untersuchung von Haftfestigkeiten in Materialverbunden [3] oder bei der Bestimmung des Schädigungszustandes stark strukturierter Materialien, wie z.B. Beton oder Keramik, stoßen die klassischen Ultraschallverfahren schnell an ihre Grenzen. Nichtlineare Prüftechniken weisen dagegen eine große Empfindlichkeit bei der Charakterisierung von Schädigungszustand und -fortschritt auf, lange bevor die üblichen linearen Materialparameter sich verändern. Materialien mit struktureller Schädigung durch Risse und veränderte Korngrenzen zeigen dabei ein sehr viel stärkeres nichtlineares Verhalten als nichtgeschädigte. Typische Phänomene sind eine nichtlineare Schallschwächung, die Erzeugung höherer Harmonischer, die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit von der Deformation, die Verschiebung von Resonanzfrequenzen sowie die Erzeugung von Mischfrequenzen (Seitenbänder) bei der Wechselwirkung zweier nichtlinearer Wellen unterschiedlicher Frequenz. Diese Effekte stellen die Grundlage der im folgenden erläuterten Prüfverfahren dar.
Zwei verschiedene Prüftechniken zur Charakterisierung des Schädigungszustandes haben sich in Labormessungen, aber auch bei industriellen Anwendungen besonders bewährt, die "Single Mode Nonlinear Resonance Acoustic Spectroscopy" (SIMONRAS) und die "Nonlinear Wave Modulation Spectroscopy" (NWMS) [4]. Bei der ersten Methode wird die Verschiebung einer bestimmten Resonanzfrequenz des Bauteils bei systematischer Erhöhung der anregenden Signalamplituden registriert. Die Resonanzfrequenzen werden dabei durch monochromatischen Frequenzsweep ermittelt. Meist dienen rechteckige oder zylindrische Stäbe als Prüfkörper, bei denen die Eigenmoden bekannt und deutlich voneinander unterschieden werden können. Die Verschiebung der Resonanzfrequenzen gegenüber einem nicht- oder wenig geschädigten Referenztestkörper stellt ein Maß für den Schädigungsfortschritt dar.
Bei der NWMS-Methode wird das Bauteil mit monochromatischen Wellen zweier separater Frequenzen und mit unterschiedlicher Amplitude angeregt. Detektiert werden die dadurch hervorgerufenen höheren Harmonischen sowie die Seitenbänder (Summen- und Differenzfrequenzen). Bei diesem Verfahren macht die Anzahl und Stärke der Harmonischen bzw. der Seitenbänder eine Aussage über das Ausmaß der Schädigung.
Um die grundlegenden Effekte in nichtlinear-elastischen Medien zu erläutern, beginnen wir mit dem klassischen Kontinuumsansatz der nichtlinearen Elastizitätstheorie [5]. Die nichtlinearen Beiträge in der Bewegungsgleichung sind gegenüber den anderen Nichtlinearitäten im allgemeinen zu vernachlässigen. Aus diesem Grunde wird die Bewegungsgleichung in der üblichen linearen Form angesetzt:
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Hierbei bezeichnet vi die Komponenten des Teilchengeschwindigkeitsvektors (Summation über doppelte Indizes; i = 1,2,3) und Tik diejenigen des CAUCHYschen Spannungstensors. r ist die Stoffdichte. Die Nichtlinearität wird eingeführt durch die allgemeine Form des EULERschen Deformationstensors ("geometrische Nichtlinearität"),
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mit den Auslenkungen ui , sowie durch eine nichtlineare Version des Hookeschen Gesetzes ("physikalische Nichtlinearität"),
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mit der inneren elastischen Deformationsenergie in dritter Ordnung
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Hierbei bezeichnen l und m die beiden Lamé-Konstanten des isotropen Festkörpers. A, B und C sind die elastischen Materialkonstanten dritter Ordnung und können z.B. durch die Messung der Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeiten von einer äußeren Belastung ermittelt werden [6, 7]. Zusammen mit den Lamé-Koeffizienten ergeben sich demnach insgesamt fünf Materialkonstanten ((r) 'Fünf-Konstanten-Theorie').
Für die Ausbreitung einer ebenen Longitudinalwelle entlang der x-Achse erhalten wir
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mit K = A+3B+C. Zusammen mit der Bewegungsgleichung (1) ergibt sich daraus eine nichtlineare Wellengleichung der Form
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mit der nichtlinearen Schallgeschwindigkeit
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Hierbei ist c0 die lineare Schallgeschwindigkeit, d.h. diejenige im nichtdeformierten Festkörper. Gleichung (8) stellt das zentrale Ergebnis der nichtlinearen Elastizitätstheorie dritter Ordnung dar. Sie sagt aus, dass die Schallgeschwindigkeit von der ersten, zweiten und dritten Potenz der linearen Deformation ¶ux/¶ x abhängt. Diese Deformation kann durch die Welle an sich (Wellen endlicher Amplitude) als auch durch eine äußere Belastung des Testkörpers erzeugt werden.
Zur Entwicklung einer nichtlinearen EFIT-Variante benötigen wir die Bewegungsgleichung
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und die Zeitableitung des HOOKEschen Gesetzes, die sog. Spannungsratengleichung
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mit cnl2 aus Gl. (8). Das Ersetzen der partiellen Ableitungen durch lineare Differenzenquotienten liefert die folgenden diskretisierten Versionen von Gl. (9) und (10),
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Dabei bezeichnen die Indizes (r) und (l) Gitterpositionen rechts bzw. links vom mittleren Punkt (m). Die räumliche Diskretisierung D x bezeichnet den Abstand zwischen zwei gleichartigen Feldkomponenten. Während der lineare EFIT-Code lediglich die Komponenten vx und Txx verwendet [1], ist in der nichtlinearen Version eine dritte Feldkomponente notwendig, nämlich die Auslenkung ux. Diese läßt sich durch diskrete Zeitintegration aus vx berechnen und benötigt daher keine eigene Integrationszelle. Die Lokalisierung der Feldkomponenten beim eindimensionalen NL-EFIT-Code zeigt die folgende Abbildung:
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Zusätzlich zur räumlichen ist auch eine zeitliche Diskretisierung Dt notwendig. Ähnlich wie das Raumgitter ist auch das zeitliche Gitter gestaffelt. Es wird durch zentrale Differenzenquotienten realisiert gemäß
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Hierbei kennzeichnen die Indizes [k] und [k-1] volle und [k ±1/2] halbe Zeitschritte von Dt. Zu beachten ist, dass im zweiten Ausdruck die Identität 
[k] = v [k] verwendet wurde. Weiterhin wird im dritten Ausdruck u [k] zur Bestimmung von 
[k] benötigt (siehe Gl. (12)). Aufgrund der Tatsache, dass die Auslenkung ux explizit nur zu Halbzeitschritten von Dt berechnet wird (zweiter Ausdruck in Gl. (13)), wird eine lineare zeitliche Interpolation zwischen u [k+1/2] and u [k-1/2] durchgeführt (vierter Ausdruck in Gl. (13)).
Um auch die kürzeste Wellenlänge im Signal, l min, noch mit ausreichender Genauigkeit zu diskretisieren, wird folgendes Kriterium verwendet, was bereits von der linearen EFIT-Version bekannt ist:
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Dabei ist fmax die höchste Frequenz im Anregungssignal und cmin die kleinste Schallgeschwindigkeit im Medium. Als Stabilitätsbedingung wird eine Verallgemeinerung des eindimensionalen CFL-Kriteriums verwendet,
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mit cnl,max aus Gl. (8). Auf den folgenden Seiten werden einige erste Beispielrechnungen vorgestellt, die zeigen, dass der oben entwickelte Algorithmus in der Lage ist, einige wohlbekannte nichtlineare Effekte in elastischen Festkörpern zu reproduzieren. Dies sind im einzelnen die Bildung höherer Harmonischer in Wellen endlicher Amplitude sowie die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit von einer äußeren Belastung.
Abb. 1 zeigt einen mit dem eindimensionalen NL-EFIT-Code berechneten Aufsteilungsvorgang von Sinuswellen der Basisfrequenz f0 = 10 kHz in Massilon-Sandstein. Die Materialparameter sind der Arbeit von Winkler und Liu [6] entnommen. Sie betragen cL = 2634 m/s, cS = 1736 m/s, r= 2090 kg/m³. Die nichtlinearen Koeffizienten sind A = -17530 GPa, B = -5670 GPa und C = -2230 GPa. Die Abb. 1 gibt das Zeitsignal der Hauptspannung Txx wieder. Alle Amplituden im Bild sind aus Darstellungsgründen auf Eins normiert. In Wirklichkeit unterscheiden sie sich natürlich voneinander. Dabei gilt: Je stärker die Deformation der Wellenfront, umso größer war auch die Amplitude der eingeschallten Welle.
Abb. 2 zeigt zusätzlich zu den Zeitsignalen der nichtdeformierten und deformierten Sinuswelle (links) auch die jeweiligen Amplitudenspektren (rechts). Durch den nichtlinearen Aufsteilungseffekt werden höhere Harmonische bei ganzzahligen Vielfachen der Basisfrequenz f0 erzeugt. Es ist zu beachten, dass die Aufsteilung bezüglich positiven und negativen Deformationen nicht symmetrisch ist. Dies geht unmittelbar aus Gl. (8) bzw. (12) hervor, in denen sowohl gerad- als auch ungeradzahlige Potenzen von ¶ ux/¶ x auftreten.
Abb 1: Aufsteilung von Sinuswellen endlicher Amplitude, berechnet mit Hilfe des eindimensionalen NL-EFIT-Codes. Im Bild sind alle Amplituden aus Darstellungsgründen auf Eins normiert. Tatsächlich ist die Amplitude aber umso größer, je stärker die Deformation der Wellenfronten ausfällt.
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Abb 2: Zeitsignale (links) und Amplitudenspektren (rechts) der nichtdeformierten (oben) und deformierten Sinuswelle (unten). Die Basisfrequenz beträgt f0 = 10 kHz. Die nichtlineare Aufsteilung der Wellenfronten erzeugt höhere Harmonische bei ganzzahligen Vielfachen von f0.
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Die Aufsteilung von Wellen endlicher Amplitude verursacht gewisse numerische Schwierigkeiten, da mit zunehmender Zahl der Harmonischen die maximale Frequenz im Signal ansteigt und somit die Anforderungen an das Raumgitter gemäß Gl. (14) immer größer werden. Bei vorgegebener Gitterweite D x wird sich also nach einer gewissen Laufstrecke numerische Dispersion einstellen, da die kleinsten Wellenlängen (entsprechen den höchsten Frequenzen) nicht mehr ausreichend diskretisiert werden. Dieses Problem tritt deshalb auf, weil in den Grundgleichungen bislang keine dissipative Materialdämpfung berücksichtigt wurde. Der Einbau einer frequenzabhängigen Absorption, bei der die hohen Frequenzanteile stärker gedämpft werden als die niedrigen, sollte wie in der Realität zu einem stationären Zustand führen, bei der die Aufsteilung der Wellenfronten nicht mehr fortschreitet und somit die Anzahl der Harmonischen beschränkt wird. Die Implementierung einer solchen (linearen) Dämpfung ist Gegenstand laufender Arbeiten.
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Abb 3: Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit von einer äußeren hydrostatischen Belastung in Portland-Sandstein, berechnet mit Hilfe des nichtlinearen EFIT-Codes. Links: Zeitsignal der Teilchengeschwindigkeit detektiert in 50 cm Abstand von der Quelle (- - - - : ohne Belastung, ---
: mit hydrostatischer Spannung von 70 MPa). Rechts: Longitudinalwellengeschwindigkeit als Funktion der Spannung bei hydrostatischer Belastung ( |  : NL-EFIT, --- : Analytisch, : Experiment von Winkler und Liu [6]).
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Im zweiten Anwendungsbeispiel geht es um die Ausbreitung von Wellen sehr kleiner Amplitude in einem vordeformierten, also mit einer äußeren Last versehenen Testkörper. Eine Aufsteilung der Wellenfronten tritt hierbei nicht auf, doch hängt die Schallgeschwindigkeit ebenfalls von der Deformation ab. Abb. 3 (links) zeigt das Ergebnis zweier NL-EFIT-Rechnungen in Portland-Sandstein (cL = 3013 m/s, cS = 1847 m/s, r = 2140 kg/m³, A = - 1122 GPa, B = - 419 GPa und C = - 340 GPa). Dargestellt ist das Zeitsignal der Teilchengeschwindigkeit vx, detektiert in 50 cm Abstand von der Quelle. Der gestrichelte Impuls ergibt sich in einem unbelasteten Testkörper. Dieser Fall entspricht einer rein linear-elastischen Wellenausbreitung. Gibt man dagegen eine äußere Belastung vor, im vorliegenden Fall ein hydrostatischer Spannungszustand von 70 MPa, so erhöht sich die Schallgeschwindigkeit deutlich, was aus der kürzeren Laufzeit des Impulses (durchgezogene Kurve in Abb. 3, links) ersichtlich ist.
Abb. 3 (rechts) zeigt die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit für Spannungen zwischen 0 und 70 MPa. Die durchgezogene Kurve entspricht den analytischen Ergebnissen gemäß Gl. (8). Die schwarzen Punkte markieren die Ergebnisse von NL-EFIT-Rechnungen für ausgewählte Werte der Spannung. Die übereinstimmung mit der Theorie ist sehr gut. Die grauen Punkte geben experimentelle Ergebnisse von Winkler und Liu [6] wieder. Bis zu moderaten Spannungen von etwa 35 MPa ist die übereinstimmung mit den theoretischen und numerischen Daten hervorragend. Bei größeren Spannungen fallen die experimentellen Schallgeschwindigkeiten jedoch deutlich niedriger aus als erwartet. Hierfür kommen zwei Erklärungen in Frage.
Zum einen ist es denkbar, dass die Elastizitätstheorie dritter Ordnung für die relativ hohen Belastungen > 35 MPa nicht mehr ausreicht und im Ausdruck für die innere Deformationsenergie (4) Terme noch höherer Ordnung berücksichtigt werden müssen. Dies würde zur Einführung vier weiterer nichtlinearer Materialparameter führen. Es läge dann eine "Neun-Konstanten-Theorie" (Elastizität vierter Ordnung) vor.
Eine andere mögliche Erklärung für die obige Abweichung liegt darin, dass der klassische Kontinuumsansatz der nichtlinearen Elastizitätstheorie nicht für alle Materialien gleichermaßen geeignet ist. So können z.B. Materialien mit elastischer Hysterese und Gedächtniseffekten mit der bislang vorgestellten Methode nicht ausreichend beschrieben werden. Hier könnte ein Mikrostrukturmodell Abhilfe schaffen, welches in Kapitel 6 vorgestellt wird.
Der in Kap. 4 vorgestellte NL-EFIT-Algorithmus wurde inzwischen auch für den zweidimensionalen Fall implementiert. Die dafür zu diskretisierenden Spannungsratengleichungen lauten
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mit den Deformationen
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und deren Zeitableitungen.
Die räumliche und zeitliche Diskretisierung der Grundgleichungen erfolgt ähnlich dem Vorgehen im eindimensionalen Fall in Kapitel 4 und soll daher hier nicht weiter vertieft werden. Zu erwähnen ist lediglich, dass nun insgesamt sieben Feldkomponenten benötigt werden. Dies sind neben den Spannungskomponenten Txx , Tyy , Txy , den Teilchengeschwindigkeitskomponenten vx und vy auch die zugehörigen Auslenkungen ux und uy. Einige davon müssen durch ein bestimmtes räumliches Interpolationsschema ermittelt werden (siehe Abb. 4).
Abschließend sei darauf hingewiesen, dass die hier zugrunde gelegte Elastizitätstheorie dritter Ordnung vom physikalischen Standpunkt her eine schwache Nichtlinearität beschreibt. Die Amplituden sind zwar endlich, aber doch noch so klein, dass es zu keiner nennenswerten Deformation der Gitterzellen kommt. Erst diese Tatsache rechtfertigt die Verwendung eines Gitters mit identischen unveränderbaren Integrationszellen.
Abb. 5 zeigt ein erstes Anwendungsbeispiel des zweidimensionalen NL-EFIT-Algorithmus. Dargestellt ist das elastische Wellenfeld einer Linienquelle in Portland-Sandstein (Materialparameter siehe Kap. 4), jeweils 13.84 ms nach Beginn der Anregung. Die Amplituden der Wellen sind so klein, dass sich keine Harmonischen bilden können. Während das linke Teilbild in Abb. 5 die Ausbreitung in einem unbelasteten Testkörper darstellt, wurde in den beiden anderen Fällen ein hydrostatischer Spannungszustand von 20 MPa (Bild mitte) bzw. 40 MPa (Bild rechts) realisiert. Wie man deutlich erkennt, erhöht sich die Schallgeschwindigkeit der beteiligten Wellenmoden mit steigender Belastung (vgl. auch Abb. 3, rechts).
Abb 4: Lokalisierung der Feldkomponenten beim zweidimensionalen NL-EFIT-Code. Im Unterschied zur linearen Version werden neben den Teilchengeschwindigkeitskomponenten auch die jeweiligen Auslenkungen benötigt. Einige davon (graue Pfeile in Zellenmitte) werden durch räumliche Interpolation aus den vier benachbarten Komponenten (schwarze Pfeile in Zellenecken) ermittelt.
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Abb 5: Abhängigkeit von Longitudinal- und Scherwellengeschwindigkeit von äußerer hydrostatischer Belastung in Portland-Sandstein, berechnet mit Hilfe des zweidimensionalen NL-EFIT-Algorithmus. Alle drei Wellenfrontbilder wurden zum selben Zeitpunkt t = 13.84 ms aufgenommen, jedoch bei den unterschiedlichen Belastungsgraden 0 MPa (links), 20 MPa (mitte) und 40 MPa (rechts).
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Es ist seit einiger Zeit bekannt, dass die in den bisherigen Kapiteln vorgestellte Fünf-Konstanten-Theorie der schwachen Nichtlinearität nicht für alle Werkstoffe eine ausreichend gute Näherung darstellt. Insbesondere an stark strukturierten Materialien wie Beton, Keramik oder Felsgestein wird oft eine stärkere Nichtlinearität mit Hysterese und Gedächtniseffekten beobachtet [8]. Diese 'mesoskopische' Nichtlinearität wird durch mikrostrukturelle Schädigungen und hysteretische Effekte in Grenzflächen verursacht. Sie wird üblicherweise durch das Hinzufügen eines nichtanalytischen Terms in die Wellengleichung beschrieben. Grundlage dafür ist das phänomenologische PREISACH-MAYERGOYZ (PM)-Modell [8, 9].
Wir haben auf der Grundlage des PM-Modells einen EFIT-Algorithmus mit dynamischer Gitterverwaltung entwickelt, bei dem die Nichtlinearität nicht durch entsprechende Terme in den Grundgleichungen (wie bei dem in den Kapiteln 3-5 beschriebenen Kontinuumsansatz), sondern mikrostrukturell durch die Veränderung der Materialzellen während der Wellenausbreitung erzeugt wird. Das einfachste Beispiel für diesen Ansatz ist in Abb. 6 dargestellt.
Abb 6: Eindimensionale Modellierung eines sich öffnenden und schließenden Risses durch dynamische Verwaltung des Materialgitters. Der Riss überträgt nur Druck-, aber keine Zugspannungen.
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Das Modell beschreibt einen sich öffnenden und schließenden Riss in einer Raumdimension, der nur Druck-, aber keine Zugspannungen übertragen kann. Sobald die Spannung in der mittleren Materialzelle negativ wird (Zugspannung) wird der Riss geöffnet, indem die elastische Materialzelle (grau) in einen Hohlraum mit spannungsfreien Rändern (weiss) überführt wird (Abb. 6, mitte). Ein passendes Kriterium sorgt dann umgekehrt wieder für das Schließen des Risses, abhängig vom aktuellen Zustand des Wellenfeldes (Abb. 6, unten).
Abb. 7 zeigt die Wechselwirkung eines Ultraschallimpulses mit einem solchen Riss. Dargestellt ist der räumliche Verlauf der Spannung, einmal vor (links) und nach Passieren des Risses (rechts). Der Riss überträgt nur Druckspannungen. Die Zugspannungsanteile werden am offenen Riss mit Phasensprung reflektiert. Hervorzuheben ist, dass der Algorithmus mit der in Abb. 6 beschriebenen Vorschrift numerisch stabil und konsistent bleibt, obwohl sich die Materialzelle am Riss von einem Zeitschritt zum nächsten ändern kann.
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Abb 7: EFIT-Modellierung der Wechselwirkung eines US-Impulses (Bild links) mit einem sich öffnenden und schließenden Riss, der nur Druckspannungen überträgt. Die Zugspannungsanteile werden am offenen Riss mit Phasensprung reflektiert (Bild rechts).
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Das obige Modell kann beliebig verallgemeinert werden. So lassen sich z.B. Risse realisieren, die sich bei einer beliebigen Spannung T1 öffnen und bei einer Spannung T2 ¹ T1 wieder schließen. Auch elastische Elemente mit hysteretischer Spannungs-Dehnungs-Kurve lassen sich implementieren. Erweitert man das Modell eines einzelnen Risses auf zwei- und dreidimensionale Modelle mit vielen Rissen bzw. hysteretischen Kontaktflächen, so lassen sich die effektiven Materialparameter solcher Systeme systematisch untersuchen. Dies ist Gegenstand laufender Arbeiten.
Nichtlineare Phänomene spielen eine wichtige Rolle bei der Charakterisierung des Schädigungszustandes verschiedener Materialien. Die auftretenden Effekte sind teilweise noch unverstanden. So sagt die klassische nichtlineare Elastizitätstheorie in einem resonanten Stab eine Frequenzverschiebung proportional zum Quadrat der Deformation voraus. In vielen Materialien wird aber stattdessen nur eine lineare Abhängigkeit beobachtet. Die genauen Zusammenhänge und Unterschiede zwischen der klassischen nichtlinearen Kontinuumstheorie und dem mikrostrukturellen PM-Modell sind unklar. Die vorgestellten nichtlinearen EFIT-Codes könnten helfen, diese Korrelationen aufzuklären.
Die NL-EFIT-Algorithmen in ein und zwei Dimensionen sind bereits in der Lage, einige wichtige und bekannte nichtlineare Effekte wiederzugeben, so z.B. die Bildung höherer Harmonischer in Wellen endlicher Amplitude sowie die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeiten von einer äußeren Belastung. Die Harmonischenbildung bereitet derzeit noch numerische Probleme und begrenzt den Anwendungsbereich des Algorithmus. Der Aufsteilungseffekt der Wellenfronten kann aber durch den Einbau einer frequenzabhängigen inneren Dämpfung gestoppt werden. Nach entsprechender Erweiterung des Codes sollte es daher möglich sein, realistischere Simulationen zu den beschriebenen nichtlinearen Prüftechniken durchzuführen und somit zum besseren Verständnis und zur Optimierung der Verfahren beizutragen.
Neben den behandelten Effekten gibt es weitere interessante Phänomene wie z.B. die Ausbreitung und Wechselwirkung verlustfreier Solitonen in Wellenleitern [10]. Der nichtlineare EFIT-Code kann helfen, diese Effekte zu untersuchen und die Eignung von Solitonen für die zerstörungsfreie Prüfung festzustellen. Der entwickelte Algorithmus könnte sich damit in Zukunft als ähnlich bedeutsames Hilfsmittel für nichtlineare akustische Prüftechniken erweisen, wie der klassische EFIT-Algorithmus für die traditionellen linearen Verfahren.
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