DGZfP-JAHRESTAGUNG 2001 Zerstörungsfreie Materialprüfung

ZfP in Anwendung, Entwicklung und Forschung Berlin, 21.-23. Mai 2001 -Berichtsband 75-CD

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Beiträge: Plakate: Durchstrahlungsprüfung:

Geometrische Kalibrierung einer Röntgenprüfanlage

Domingo Mery, Claudio Geisert, Dieter Filbert:
Technische Universität Berlin

1. Einführung

Ziel der geometrischen Kalibrierung einer Röntgenprüfanlage ist die Schätzung der Parameter des Bildaufnehmers, sowie die Parameter der Funktion zur Bestimmung der genauen Position des Prüflings im 3D-Raum. Durch diese Parameter kann die Transformation zwischen einem 3D-Punkt des Prüflings und einem 2D-Pixel des Röntgenbildes ermittelt werden. Mit mehreren Ansichten des Objektes ist die Rücktransformation 2D(r)3D möglich. In diesem Beitrag wird eine Kalibrierung einer Prüfanlage realisiert, bei der die Röntgenbilder durch einen gewölbten Bildverstärker nichtlinear abgebildet werden. Eine Kalibrierung einer Prüfanlage, in welcher der Bildaufnehmer ein Flachdetektor ist, könnte durchgeführt werden, indem die Nichtlinearität des Modells nicht berücksichtigt wird.

In der genauen 3D-Vermessung (eines Teiles) des Prüflings, in der Mehr-Bild-Analyse eines Details und in der automatischen Gußfehlererkennung aus einer Röntgenbildsequenz dienen die Kalibrierung, die Korrespondenzsuche mit Hilfe stereoskopischer Aufnahmen und die Lokalisierung eines Punktes des Prüflings im 3D-Raum als Werkzeug.

Die erwähnte Kalibrierung geschieht offline mit Hilfe eines Kalibrierungsobjektes, das aus verschiedenen Positionen geröntgt wird. Bei jeder Aufnahme des Objektes werden die Koordinaten der gemessenen Kalibrierungspunkte im Röntgenbild sowie die von dem Manipulator gegebene Position des Objektes in der Prüfanlage registriert. Das Verfahren zur geometrischen Kalibrierung der Röntgenprüfanlage löst ein nichtlineares Optimierungsproblem, in dem jeder Abstand zwischen einem gemessenen Kalibrierungspunkt und seiner entsprechenden (modellierten) Projektion im Röntgenbild minimiert wird.

Im Beitrag wird das geometrische Modell der Röntgenprüfanlage dargestellt, die Gütefunktion des Kalibrierungsproblems definiert, eine Lösung zum Kalibrierungsproblem erläutert und als Beispiel eine reale Röntgenprüfanlage kalibriert.

Der Artikel gliedert sich in folgende Abschnitte: In Abschnitt 2 wird die Gütefunktion des Kalibrierungsproblems definiert. Eine Lösung zum Kalibrierungsproblem wird in Abschnitt 3 erläutert. Anschließend wird als Beispiel eine reale Röntgenprüfanlage in Abschnitt 4 kalibriert. Schließlich werden die Ergebnisse präsentiert.

2. Definition des Kalibrierungsproblems

In diesem Beitrag werden die homogenen Koordinaten benutzt, da sich die Algebra der perspektivischen Projektion eines 3D-Punktes auf eine Ebene linear beschreiben läßt [Fau93, Hey95]. In homogenen Koordinaten wird ein 2D-Punkt als x=[x y 1]^T und ein 3D-Punkt als X=[X Y Z 1]^T bezeichnet.

Die Kalibrierung erfolgt mit Hilfe eines Kalibrierungsobjektes. Im Kalibrierungsobjekt gibt es m 3D-Kalibrierungspunkte mit Koordinaten M_j =[X_j Y_j Z_j 1]^T für j =1,...,m. Sie werden in n Positionen projiziert. In jeder Position wird ein Röntgenbild aufgenommen. Die Koordinaten der gemessenen 2D-Kalibrierungspunkte lauten im Röntgenbild u_ij = [u_ij v_ij 1]^T für i =1,...,n und j =1,...,m. Das heißt, die Punkte u_ij,...,u_nj sind n Projektionen desselben 3D-Punktes M_j in n verschiedenen Bildern. Da in diesem Verfahren die Koordinaten der Kalibrierungspunkte im 3D-Raum M_j bekannt sind, kann die i-te Projektion von M_j auf der Ebene, die sich tangential zum Eingangsschirm des Bildverstärkers und senkrecht zur Zentralachse der Projektion befindet, durch die 3´4 Projektionsmatrix P_i berechnet werden [Fau93]:

(1)

Dabei sind die Koordinaten der modellierten Projektion von M_j auf der erwähnten Ebene in i-ter Position; und l _ij ein Skalierungsfaktor. Die Abbildung von auf das digitalisierte Röntgenbild erfolgt durch den Bildverstärker und CCD-Kamera, die sich mit Hilfe einer nichtlinearen Transformation beschreiben läßt [Mer00]:

(2)

mit . In diesem Fall wird der Eingangsschirm des Bildverstärkers als ein Hyperboloid mit Achsen a und b modelliert. Darsu folgt:

(3)

Es ist anzumerken, daß bei einem Flachdetektor keine nichtlineare Transformation stattfindet, da es keine geometrische Verzerrung des Röntgenbildes gibt, d.h. f(m)=m

Die Matrix A in (2) beschreibt die lineare Transformation in der CCD-Kamera. Man berechnet sie mit Hilfe einer ähnlichkeit-Transformation, in der nur die Rotation, Translation und Skalierung gelten [Fau93]:

(4)

dabei sind q  der Rotationswinkel zwischen x,y - und u,v -Achsen; k_x,k_y die Skalierungsfaktoren in x,y-Richtungen; und u₀,v₀ die Translation des Ursprungs von u,v -Koordinatensystem.

Die Projektionsmatrizen P_i, für i=1,...,n, sowie die Matrix A und die Parameter der Funktion f sind unbekannt. Ihre Schätzung ist ein nichtlineares Optimierungsproblem, in dem die Abstände zwischen gemessenen Kalibrierungspunkten u_ij die aus den Röntgenbildern ermittelt werden, und ihren nach dem geometrischen Modell geschätzen Projektionen minimiert wird. Die Gütefunktion lautet dann:

(5)

wobei X den Parametervektor bezeichnet, dessen Elemente die Parameter der CCD-Kamera, des Bilverstärkers und des Manipulators sind. Es ist anzumerken, daß die geschätzte Projektion eine Funktion von X ist.

3. Lösung des Kalibrierungsproblems

Wie in Abschnitt 2 definiert wurde, ist das Kalibrierungsproblem ein Schätzproblem. Es besteht darin, den Parametervektor X so zu bestimmen, daß die Gütefunktion Q in (5) minimiert wird. Nach Anwendung dieses Verfahrens stimmen die gemessenen Koordinaten der Kalibrierungspunkte in Bildern mit den entsprechenden berechneten Koordinaten, die über das geometrische Modell ermittelt werden, möglichst gut überein.

Lineare Verfahren zur Kalibrierung der Kamera sind in [Fau93, Hey95, Kle96, Xu96] zu finden. Berücksichtigt man die Verzerrung des Projektionsvorganges, wie z.B. bei einer Linsenverzerrung oder einem gewölbten Bildverstärker, lassen sich die nichtlinearen Methoden von [Bra96, Wen92, Jae90] anwenden. Da sie nur eine Position des Objektes berücksichtigen, können diese Verfahren allerdings nur den Bildaufnehmer (Bildverstärker und CCD-Kamera) kalibrieren. In diesem Fall ist die Abbildung der dreidimensionalen Welt des Objektes auf die zweidimensionale Projektionsebene eine konstante Funktion, da nur eine Projektionsmatrix geschätzt wird.

Wegen der verschidenen Positionen des Objektes in der Röntgenprüfung ist die Projektionsmatrix jedoch nicht konstant. Sie ist eine Funktion der Position des Objektes und seiner perspektivischen Projektion. Die Projektionsmatrizen können mit Hilfe der ablesbaren Positionsdaten des Manipulators berechnet werden. Aus diesem Grund muß der Manipulator bei der Kalibrierung mit berücksichtigt werden.

In diesem Abschnitt wird ein neues Verfahren zur geometrischen Kalibrierung der Röntgenprüfanlage vorgestellt, das die CCD-Kamera, den Bildverstärker und den Manipulator gleichzeitig kalibriert. Die Strategie zur Lösung dieses Optimierungsproblem ist in Abb. 1 schematisch dargestellt. Sie wird im folgenden erläutert:

Abb 1: Kalibrierung einer Röntgenprüfanlage.

1. Die m Kalibrierungspunkte werden im Kalibrierungsobjekt bestimmt. Als Ergebnis bekommt man die 3D Koordinaten M_j=[X_j Y_j Z_j 1]^T für j =1,...,m.
2. Das Kalibrierungsobjekt wird in n verschiedenen Positionen geröntgt und eine Aufnahme gemacht. Bei jeder Aufnahme soll die vom Manipulator gegebene Position des Kalibrierungsobjekt registriert werden.
3. Die m Kalibrierungspunkte werden in den n Bildern gesucht. Als Ergebnis bekommt man die Koordinaten im Röntgenbild u_ij, für i =1,...,n und j =1,...,m. Falls nicht alle Kalibrierungspunkte bei den Röntgenbildern sichtbar sind, kann das Kalibrierungsproblem gelöst werden, indem man das Index j in (5) nur die betroffenen Kalibrierungspunkte im i-ten Bild berücksichtigt.
4. Zunächst werden Anfangswerte für die CCD-Kamera-, Bildverstärker- und Manipulatorparameter gewählt. Diese Anfangswerte lassen sich aus Vermessungen der Prüfanlage bzw. aus den bekannten technischen Daten der Anlage und Kamera ermitteln.
5. Für die n Projektionen werden die Projektionsmatrizen P_i berechnet. Typischerweise läßt sich die Projektionsmatrix P_i aus dem fokalischen Abstand f (Abstand zwischen Röntgenquelle und Eingangsschirm des Bildverstärkers), den Rotationswinkeln der Achsen X ,Y und Z, des Objektes (w_X,w_Y,w_Z) und der Translation des Objektes (t_X,t_Y,t_Z) bezogen auf die Röntgenquelle bestimmen. Angenommen wird, daß die Position des Objektes von dem Manipulator bei jeder Aufnahme gegeben wird. Die i-te Projektionsmatrix lautet dann:
   

   (6)

   Der Translationsvektor t_i und die 3 ´3 Rotationsmatrix R_i bei der i-ten Position des Objektes lassen sich folgermaßen definieren [Fau93]:

   

   Die Werten t_Xi,t_Yi,t_Zi und w_Xi,w_Yi,w_Zi werden aus ablesbaren Positionsdaten des Manipulators ermittelt. Sie geben die Position und der Rotation des Objektes im i-ten Bild an. In [Mer00] wird solches Modell angewendet, um die geometrische Kalibrierung der von Philips Industrial X-Ray GmbH entwickelten Röntgenprüfanlage MU 231 durchzuführen. In diesem Fall wurde die Scan-Achse Röntgenquelle-Bildverstärker festgelegt. Das Objekt wurde bei den Untersuchungen nur um die Z-Achse gedreht. D.h., der Translationsvektor war konstant, und die Rotationsmatrix hing nur von Rotationswinkel w_Z ab.

6. Die Matrix A wird aus (2) berechnet.
7. Aus (1) und (2) werden die Projektionen der Kalibrierungspunkte des Objektes geschätzt:

(7)

8. Die berechneten Schätzfehler

   (8)

   werden in einem Vektor e angeordnet

   (9)

   Die Gütefunktion Q in (5) entspricht 1/2e^Te. Der Parametervektor X beinhaltet die Parameter der Kamera (k_x ,k_y, q , u_o , v_o ) die Parameter des Bildverstärkers (a,b) für das hyperbolische Modell und die Parameter des Manipulators zur Bestimmung der Position des Objektes.

9. Mit Hilfe eines Gradientenverfahrens wird der Parametervektor X mit jeder Iteration aktualisiert. Hier wird der Algorithmus von Newton-Raphson angewendet [Sch93]:
   

   (10)

   wobwi D X^(t) das Inkrement in Iteration t ist.

   Es wird angenommen, daß die Iteration (10) konvergiert, wenn ein Abbruchkriterium erfüllt wird, zum Beispiel wenn

   (11)

   Ansonsten wird das Verfahren ab 5. Schritt wiederholt.

4. Beispiel einer Kalibrierung

In diesem Abschnitt wird die geometrische Kalibrierung der von der Firma YXLON International X-Ray GmbH entwickelten Röntgenprüfanlage MU2000 dargestellt.

Abb 2: Röntgenprüfanlage MU2000.

Bei der MU2000 erfolgt die Manipulation über den Manipulatortisch und über die vertikale Scan-Achse, an der Bildverstärker und Röntgenröhre angebracht sind [YXL98]. Ein Diagramm dieser Röntgenprüfanlage ist in Abb. 2 dargestellt. Der Manipulator besitzt sechs Freiheitsgrade: Rotation der R-Achse des Manipulatortisches, Rotation der Scan-Achse T, Translation des Manipulatortisches in X- und Z-Richtung, Einstellung der Höhe Y der Scan-Achse und Einstellung des Fokus-Detektor-Abstandes F. Diese Größen werden vom Manipulator in Inkrementen angegeben.

Abb 3: Kalibrierungsobjekt: Photographie und CAD-Modell.

Das Kalibrierungsobjekt ist ein Abflußsieb aus Aluminium, dessen externer Durchmesser 70mm beträgt. Durch Vermessung des Kalibrierungsobjektes wurde ein CAD-Modell entworfen. Es besitzt siebzig kleine Löcher (f= 3 ~ 5 mm), die auf 4 Ringe und das Zentrum verteilt sind. Die Schwerpunkte der Löcher liegen in drei verschiedenen Ebenen. Eine Photographie des Kalibrierungsobjekts sowie sein CAD-Modell ist in Abb. 3 gezeigt.

Die Suche der Kalibrierungspunkte im Röntgenbild erfolgt mit Hilfe des Verfahrens zur Segmentierung möglicher Gußfehler [Mer99]. Hier werden die durch Kanten geschlossenen und kontrastreichen Regionen einer bestimmten Flächengröße gesucht. Als gemessene Kalibrierungspunkte werden die Schwerpunkte der gefundenen Regionen verwendet. Die Zuordnung der segmentierten Regionen zu den korrespondierenden Kalibrierungspunkten kann automatisch durchgeführt werden, falls ein entsprechendes Modell der Projektion zur Verfügung steht. Die Region wird dann demjenigen Kalibrierungspunkt zugeordnet, zu dem ihr Schwerpunkt den kleinsten Abstand aufweist. Nur die vollständigen, eingeschlossenen Regionen werden segmentiert. Als Beispiel zeigt Abb. 4 die Suche der Kalibrierungspunkte in einem Röntgenbild.

Abb 4: Suche der Kalibrierungspunkte: Röntgenbild, Kantendetektion und Zuordnung der Regionen.

In Abb. 5 ist eine Sequenz des Kalibrierungsobjektes gegeben, die durch Rotation der R-Achse (s. Abb. 2) erzeugt wurde.

Abb 5: Acht Röntgenbilder des Kalibrierungsobjektes.

Abb 6: Geometrische Darstellung der Röntgenprüfanlage.

Die Modellierung des geometrischen Modells dieser Prüfanlage ist in Abb. 6 dargestellt. Eine detaillierte mathematische Beschreibung ist in [Mer01] zu finden. Die Projektionsmatrizen können folgendermaßen repräsentiert werden:

(12)

wobei die 4 x 4 Matrix S_i die Rotation und Translation des Objektes bezogen auf die Röntgenquelle repräsentiert. Sie wird durch die Position jeder Achse des Manipulators definiert.

Die in vorigen Abschnitt erläuterte Lösung des Kalibrierungsproblem erfolgt nun durch Einsetzen dieser neuen Projektionsmatrix P_i in (6).

Abb 7: Ergebnisse der Kalibrierung.

5. Ergebnisse der Kalibrierung

Das Kalibrierungsobjekt (Abflußsieb) wurde in sechzehn verschiedenen Positionen geröntgt. Bei jeder Position wurden die Koordinaten des Manipulators in Inkrementen registriert. Insgesamt wurden 532 Löcher segmentiert und zugeordnet. Die Röntgenprüfanlage wurde vollständig vermessen, um Anfangswerte für den Parametervektor zu bestimmen.

Das erläuterte Modell wurde programmiert und der vorgeschlagene Lösungsweg wurde untersucht. Als Ergebnis der Kalibrierung zeigt Abb. 7 acht Röntgenbilder zusammen mit dem projizierten 3D-Modell.

Die übereinstimmung der gemessenen Kalibrungspunkte mit den geschätzten Punkten des 3D-Modells ist ausgezeichnet. Das Bild 2 der Darstellung, in dem kein Loch sichtbar ist, wurde in der Kalibrierung nicht benutzt. Trotzdem passen die Projektion des Modells und das Röntgenbild des Abflußsiebes sehr gut zueinander.

Der Mittelwert des Schätzfehlers (Abstand zwischen gemessenen und geschätzten Kalibrierungspunkte) beträgt 1,83 Pixel mit einer Standardabweichung von 2,19 Pixel.

Literaturverzeichnis

[Bra96]	Brack, Ch.; Götte, H.; Gossé, F.; Moctezuma, J.; Roth, M.; Schweikard, A.: "Towards Accurate X-Ray-Camera Calibration in Computer-Assisted Robotic Surgery", Proc. Int. Symp. Computer Assisted Radiology (CAR), Paris, 721-728, 1996.
[Fau93]	Faugeras, O.: "Three-Dimensional Computer Vision: A Geometric Viewpoint", The MIT Press, Cambridge MA, London. 1993.
[Hey95]	Heyden, A.: "Geometry and Algebra of Multiple Projective Transformationions", Doctoral Dissertation, Departament of Mathematics Lund Institute of Technology, Sweden, 1995.
[Jae90]	Jaeger, Th.: "Entwicklung von Verfahren zur geometrischen Entzerrung radiographischer Aufnahmen", Diplomarbeit am Institut für Meß- und Automatisierungstechnik, Technische Universität Berlin, 1990.
[Kle96]	Klette, R.; Koschan, A.; K. Schlüns: "Computer Vision: Räumliche Information aus digitalen Bildern", Vieweg, Braunschweig, Wiesbaden, 1996.
[Mer99]	Mery, D.; Filbert, D.; Krüger, R.; Bavendiek, K.: "Automatische Gußfehlererkennung aus monokularen Bildsequenzen", Jahrestagung der DGZfP, (1):93-102, May 10 - 12, 1999, Celle, Germany.
[Mer00]	Mery, D.; Filbert, D.: "Die Epipolargeometrie in der Röntgendurchleuchtungsprüfung: Grundlagen und Anwendung", at - Automatisierungstechnik, Oldenbourg Verlag, 68(12):588-596, 2000.
[Mer01]	Mery, D: "Automatische Gußfehlererkennung aus digitalen Röntgenbildsequenzen", Dr. Köster Verlag, Berlin, 2001.
[Sch93]	Schaback, R.; Werner, H.: "Numerische Mathematik", 4. Auflage, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993.
[Wen92]	Weng, J.; Cohen, P.; Herniou, M.: "Camera Calibration with Distorsion Models and Accuracy Evaluation", IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence 4(10):965-980, 1992.
[Xu96]	Xu, G.; Zhang, Z.: "Epipolar Geometry in Stereo, Motion and Object Recognition: A Unified Approach", Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 1996.
[YXL98]	YXLON: "Technische Daten des 160kV Röntgenprüfsystems MU2000", YXLON International X-Ray GmbH, 1998.

Herausgeber: DGfZP, Programmierung: NDT.net

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