Zerstörungsfreie Materialprüfung
Berlin, 21.-23. Mai 2001 -Berichtsband 75-CD
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Zerstörungsfreie Prüfverfahren werden überwiegend im Sinne der Qualitätskontrolle von Produkten am Ende des Produktionsprozesses, sowie zur Gewährleistung des sicheren Betriebes von industriellen Anlagen und der Funktionstüchtigkeit von Bauteilen und Baugruppen eingesetzt. In jedem Fall stellt das Resultat der Prüfung eine Momentaufnahme des Zustandes des untersuchten Objektes dar. Dynamische Effekte bleiben dabei weitgehend unberücksichtigt. Zur Prozeßüberwachung und insbesondere zur Prozeßsteuerung ist es aber notwendig, das dynamische Verhalten des betrachteten Systems zu kennen. Spezielle statistische Rekonstruktionsverfahren, wie sie hier vorgestellt werden, erlauben es, das Verhalten eines Systems im Zeitverlauf zu erfassen.
In diesem Zusammenhang wird zunehmend der Begriff Prozeßtomographie [1] verwendet, die die überwachung von Prozessen im Sinne einer Computertomographie (CT) darstellt. Zielsetzung dieser Anwendung ist es, Prozesse durch die ihnen innewohnenden und sich zeitlich ändernden Charakteristika bzw. Prozeßgrößen zu beschreiben. Was wird in diesem Zusammenhang als Systemcharakteristika bzw. Prozeßgrößen verstanden? Im klassischen Sinne stellen tomographische Verfahren die räumliche Verteilung bestimmter Systemeigenschaften zur Verfügung, wie z. B. die Dichteverteilung. Die Ortsauflösung und damit die Diskretisierung des Objektraumes ist dabei durch verschiedene Eigenschaften des verwendeten indirekten Meßverfahrens bzw. der Meßtechnik begrenzt. Andererseits ist die Auflösung den zu untersuchenden Strukturen anzupassen, was sich sowohl auf die Diskretisierung des Objektraumes als auch auf die Genauigkeit bezieht, mit der die Charakteristika bestimmt werden. Im Ergebnis wird jedem Volumenelement ein statistisch gemittelter Wert der zu bestimmenden charakteristischen Größe zugeordnet. Durch Erhöhung der Auflösung des tomographischen Verfahrens wird das Volumen, in welchem die Mittelung erfolgt, verringert und es können immer mehr Details oder Strukturen sichtbar gemacht bzw. aufgelöst werden.
Es stellt sich die Frage, mit welcher Auflösung - im Orts- und im Objektraum - die Material- bzw. Systemeigenschaften ermittelt werden müssen, um die Funktionsfähigkeit einer Struktur oder eines Bauteils zuverlässig einschätzen zu können. Werden beispielsweise faserverstärkte Kunststoffe betrachtet, so sind deren mechanischen Eigenschaften nicht durch die Haftung jeder Einzelfaser bestimmt, sondern es genügt die Faser-Matrix-Haftung als integrale Größe zu betrachten und diese mit den mechanischen Eigenschaften des Materials zu korrelieren [2]. Stellt sich andererseits die Aufgabe, den Produktionsprozeß von Mikroschäumen zu überwachen, so ist die Qualität des Produktes nicht durch die Größe und Lage jeder einzelnen Pore gegeben, sondern durch die statistische Verteilung der Poren. In diesem Fall reicht es aus, Veränderungen der Produktionsparameter zu überwachen, wie beispielsweise Mittelwerte oder raum-zeitliche Korrelationen. Verlassen die entsprechenden statistischen Größen einen vorgegebenen Arbeitsbereich, so ist von einer signifikanten änderung der Prozeßparameter auszugehen, so daß die vorgegebenen Produkteigenschaften nicht eingehalten werden. In beiden Beispielen führt eine integrale Erfassung der Systemcharakteristika zu einer problemangepaßten Prüf-, Meß- oder überwachungstechnik.
Der Beitrag stellt eine Untersuchung zur Anwendung spezieller Rekonstruktions- bzw. Estimationsalgorithmen für die statistische Beschreibung komplexer Objektstrukturen vor, die eine dynamische Prüfung/überwachung ermöglichen. Die hier verwendeten Algorithmen basieren auf dem Kalman-Filter, der die Einführung von a priori Wissen in statistischem Sinne ermöglicht. Dieses Wissen wird in Form der a priori Kovarianzmatrix und einer a priori Annahme über die Dichteverteilungsfunktion zur Verfügung gestellt. Mit jedem Schritt wird sequentiell die in der jeweiligen Projektion enthaltene Information akkumuliert, was zu einer verbesserten Schätzung der a posteriori Kovarianzmatrix und somit der realen Dichteverteilungsfunktion führt. Diese Vorgehensweise wird als rekursiv bezeichnet. Die sich mit dem vorgestellten Verfahren ergebenden Einsatzmöglichkeiten zur Charakterisierung komplexer Objektstrukturen werden anhand eines Testkörpers aus Aluminiumschaum untersucht. Zur Abschätzung der Genauigkeit der Methode wird die Standard-3D-CT herangezogen.
Um den Fokus dieser Untersuchung einzuschränken, werden Prozesse betrachtet, wie z. B. der Fluß in einem Rohr, die im allgemeinen zufälligen Charakter tragen, d. h. die Eigenschaften dieser Prozesse werden nur durch statistische Gesetzmäßigkeiten wiedergegeben. Dementsprechend werden die zu betrachtenden System- bzw. Prozeßeigenschaften als stochastisches dynamisches Feld oder Bild aufgefaßt. Entsprechend wird die gestellte Rekonstruktionsaufgabe wharscheinlichkeitstheoretisch interpretiert und statistische Ansätze für die Lösung des Problems verwendet. Im Gegensatz dazu basieren die heutzutage verwendeten Methoden in Prozeßtomographie auf den klassischen Prinzipien der Tomographie bzw. Tomosynthese [1], wie sie für Standard-CT-Anwendungen bekannt sind [3]. Dabei wird angenommen, daß die System- bzw. Prozeßeigenschaften während der gesamten Datenakquisition konstant sind, d. h. es werden Prozesse betrachtet, deren zeitabhängige Charakteristika sich langsam im Vergleich zum Meßprozeß verändern.
Um dieses Problem zu überwinden, wird ein Algorithmus vorgeschlagen, der auf dem Kalman-Filter beruht. Folgende Annahmen werden gemacht: Die Bildeigenschaften werden - in statistischem Sinne - als Feld stationärer gaußverteilter Zufallsgrößen auf einem diskreten Raum-Zeit-Gitter angenommen. Weiterhin wird von einem linearen Meßprozeß ausgegangen, der additiv überlagertes Rauschen enthält. Zusätzlich kann es es zu einer örtlichen Verschmierung der Meßdaten kommen, die sich durch eine Abbildungsunschärfe ausdrückt. Dementsprechend werden die den Prozeß beschreibenden Größen - hier kurz als Bild bezeichnet - und der Prozeß der Datenakquisition als Markov'sche Zufallssequenz repräsentiert. Dies erfordert die Anwendung stochastischer Konzepte, insbesondere des Bayes'schen Ansatzes in der Estimationstheorie für Markov'sche Zufallsprozesse [4,5], für die Rekonstruktion der dynamischen Eigenschaften des Bildes. Dieser Ansatz führt direkt zu einem Rekonstruktionsalgorithmus in Form eines Kalman-Filters im Zeitbereich.
Die Struktur des hier verwendeten Rekonstruktionsalgorithmus ist in Abb. 1 gegeben. Eine detaillierte Ableitung des Kalman-Filters einschließlich Anwendungsbeispiele kann [6] entnommen werden. Die Besonderheit des hier verwendeten Algorithmus besteht darin, daß die in den Projektionen akkumulierte Information zur Lösung von zwei unterschiedlichen Aufgaben verwendet wird. Einerseits können die Materialparameter im 2D/3D-Objektraum als Funktion ihrer zeitlichen Veränderung im Sinne einer klassischen CT rekonstruiert werden (rechte Seite in Abb. 1). Damit können ortsaufgelöst die Charakteristika des Prozesses, z. B. eines Flusses in einem Rohr, beobachtet werden. Andererseits kann der zeitliche Verlauf der Kovarianzeigenschaften des zu überwachenden Prozesses betrachtet werden, und Abweichungen der realen Prozeßgrößen von einem vorgegebenen Referenzwert innerhalb eines gewissen Vertrauensbereiches untersucht werden (linke Seite in Abb. 1). Dieses Herangehen ermöglicht die Erfassung statistischer Charakteristika in ihrer zeitlichen änderung - während der Produktion oder des Betriebes, die entscheidend für die Funktionstüchtigkeit einer Komponente sind.
Abb 1: Struktur des Kalman-Filter-Algorithmus.
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Eine entsprechende Aufnahmegeometrie ist in Abb. 2 gezeigt. Die Strahlenquelle hat einen öffnungswinkel g. Eine Detektorzeile ist parallel zur Bewegungsrichtung des zu untersuchenden Prüfobjektes positioniert. Zur Simulation eines Flusses wird das Objekt schrittweise durch den Strahlengang bewegt. Nach jedem Schritt wird eine Projektion gemessen, wobei das Objekt während der Belichtung nicht bewegt wird. Die entspricht der Annahme eines Aquisitionssystems mit Meßzeiten für eine einzelne Projektion, die gegenüber der Dynamik des Prozesses vernachlässigbar sind. Durch die Bewegung des Objektes werden verschiedene Beobachtungswinkel realisiert. In jedem Fall ist der so erhaltene Datensatz unvollständig im Sinne der Radon-Transformation, da nur ein sehr eingeschränkter Winkelbereich durch die Aufnahmegeometrie zur Verfügung steht.
Abb 2: Aufnahmegeometrie.
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Zur Untersuchung des vorgeschlagenen Konzeptes wird ein Testkörper aus Aluminiumschaum betrachtet. Für die experimentelle Realisierung wurde eine Mikro-Fokus-CT-Anlage [7,8] verwendet:
Zusätzlich wurde ein CT-Datensatz mit Standardgeometrie als Referenzmessung aufgenommen: 720 Projektion mit Winkelschritten von 0.5 Grad, Abstand zwischen Quelle und Detektor 850 mm mit Vergrößerungsfaktor 5.3.
Prozeßüberwachung
In diesem Fall wird angenommen, daß die Kovarianzfunktion, die eine bestimmte statistische Verteilung der in der Probe enthaltenen Porositäten angibt, bekannt ist und sich räumlich nicht ändert. Als Ergebnis wird das Residuum bestimmt, das von der Statistik des Eingangssignals und vom eingeführten a priori Wissen abhängt. Durch Vergleich des ermittelten Residuums mit einem Referenzwert können die Materialparameter eingeschätzt werden, wie in Abb. 3 dargestellt. Werden Abweichungen innerhalb eines vorgegebenen Vertrauensbereiches zugelassen, wie in der Abbildung dargestellt, so können eindeutig drei Bereiche unterschieden werden. Der linke und rechte Bereich des Testkörpers weist eine deutlich größere Porenbildung auf als der mittlere Bereich. Durch Auswertung des Residuums können diese Bereiche mit einer gewissen übergangszeit eindeutig voneinander getrennt werden, da sie sich in ihren Kovarianzeigenschaften signifikant unterscheiden. Diese Bereiche können auch gut im Querschnitt des Probekörpers erkannt werden.
Abb 3: Prozeßüberwachung anhand der Korrelationseigenschaften des Aluminiumschaum-Testkörpers.
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Das Beispiel zeigt, daß der vorgeschlagene Kalman-Filter-Algorithmus in der Lage ist, Abweichungen realer Materialparameter von einer vorgegebenen Referenz zu erfassen. Dabei hängt das statistische Entscheidungsmodell von der Wahl des Schwellwertes, als den zulässigen Abweichungen, und den statistischen Eigenschaften des zu überwachenden Prozesses ab. Der Entscheidungsfehler wird durch die Falschanzeigenrate angegeben. Wie in Abb. 3 zu seheh, hängt die Verzögerung der Entscheidung von der Wahl des Schwellwertes und der Anzahl der Projektionen ab, die einer diskreten Zeitskala zugeordnet werden.
Rekonstruktion
Das Resultat des Rekonstruktionszweiges des vorgeschlagenen Algorithmus kann dazu verwendet werden, die Struktur des Objektes/Prozesses ortsaufgelöst zu untersuchen. In Abb. 4 wird das Originalbild mit dem Resultat der Rekonstruktion verglichen, wobei als zusätzliche Referenz die Computertomographie herangezogen wird. Dabei stellt Bild (a) eine Querschnittaufnahme des verwendeten Probekörpers dar, mit deren Hilfe die Kovarianzeigenschaften des Aluminiumschaumes bestimmt wurden. Bei Verwendung dieser Funktion, ergibt sich ein Bildmodell (b). Wird dieses Modell für den Rekonstruktionszweig verwendet (siehe Abb. 1) so ergibt sich Bild (c) als Rekonstruktionsresultat. Ein Vergleich mit Bild (d), das das Ergebnis der CT-Rekonstruktion unter Verwendung von 360 Projektionen darstellt, ergibt gute übereinstimmung
Abb 4: Rekonstruktionszweig des vorgeschlagenen Algorithmus: (a) Originalbild der Schnittfläche des Aluminiumschaumes (Foto), (b) erzeugtes Bildmodell mit Kovarianzeigenschaften wie Bild (a), (c) Rekonstruktionsresultat für Kalman-Filter, (d) Rekonstruktionsresultat für CT mit 360 Projektionen.
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Wird zusätzlich zum Vergleich zwischen CT- und Kalman-Filter-Ergebnis die Kovarianzfunktion herangezogen, so ergibt sich das in Abb. 5 gezeigte Ergebnis. Die verwendete Näherung in Form eines exponentiellen Abfalls der Korrelationen gibt die Kovarianzeigenschaften senkrecht und parallel zur Bewegungsrichtung gut wieder. Die Ergebnisse zwischen der Kovarianz parallel und senkrecht zur Bewegungsrichtung unterscheiden sich ebenfalls nur unwesentlich, so daß von einer gleichmäßigen Verteilung der Poren im gesamten betrachteten Bereich ausgegangen werden kann. Wie schon der Vergleich der Rekonstruktionsresultate gezeigt hat, ist die Annahme einer derart vereinfachten Kovarianzfunktion gerechtfertigt und führt zu akzeptablen ortsaufgelösten Rekonstruktionsresultaten.
Abb 5: Vergleich der Kovarianzeigenschaften von CT-Resultat und Bildmodell.
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Wie in [6] ausführlich diskutiert, führt die Anwendung des Kalman-Filter-Algorithmus auf einer diskreten Zeitskala, die den ermittelten Projektionen zugeordnet werden kann, zu einem optimalen Rekonstruktionsalgorithmus. Dabei hängt die Qualität der Rekonstruktion, die erreicht werden kann, von den Kovarianzeigenschaften des betrachteten Objektes und dem Beobachtungswinkel g ab. Je stärker der zur Verfügung stehende Winkelbereich eingeschränkt wird, desto schlechter wird die Ortsauflösung der Rekonstruktion.
Der vorgeschlagene Ansatz zur dynamischen Rekonstruktion ist in der Lage, die Eigenschaften von Prozessen im Sinne einer Prozeßtomographie zu bestimmen. Als Daten werden hier radiographische Projektionen verwendet. Als dynamisches Zustandsmodell wird ein zeit-diskretes Gauß-Markov-Modell verwendet. Das sich daraus ergebende Rekonstruktionsproblem stellt eine schlecht gestellte Aufgabe im Sinne von Hadamard dar und kann im Rahmen der stochastischen Estimationstheorie für Markov'sche Zufallsprozesse behandelt werden. Insbesondere führt die Verwendung des Bayes'schen Ansatzes zur Regularisierung des Problems. Als Ergebnis ergibt sich ein zeitdiskreter Kalman-Filter als optimaler linearer Rekonstruktionsalgorithmus. Mit dem vorgestellten Beispiel konnte das Potential des entwickelten Algorithmus zur Rekonstruktion der dynamischen Eigenschaften eines Bild- bzw. Zustandsvektors bei Berücksichtigung einer eingeschränkten Anzahl radiographischer Projektion aufgezeigt werden. Von besonderer Bedeutung für praktische Anwendungen ist, daß mit dem vorgestellten Algorithmus zwei unterschiedliche Aufgaben gelöst werden können. Einerseits erlaubt der Algorithmus unter Verwendung eines eingeschränkten Winkelbereiches die Rekonstruktion der Objekt- bzw. Prozeßeigenschaften ortsaufgelöst im Sinne einer CT. Das bedeutet, daß die zeitliche änderung lokaler Eigenschaften bestimmt werden kann. Andererseits kann der Algorithmus zur überwachung von Prozessen eingesetzt werden, wobei eine integrale Information, z. B. über den Querschnitt gemittelt, ausreicht, um die Charakteristika eines Prozesses einschätzen zu können und die Einhaltung von Prozeßparametern sicherzustellen. In Zukunft können diese Resultate im Sinne einer automatisierten Prozeßkontrolle verwendet werden.
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