I Introduction

Les matériaux utilisés sont généralement soumis à l’action de contraintes statiques appliquées ou résiduelles. La mesure de ces contraintes dès la phase de conception d’une pièce mécanique, permet d’estimer la durée de vie du matériau et d’améliorer ses qualités.

La caractérisation de l’état de contrainte par les méthodes ultrasonore présente de nombreux avantages: elle est facile à mettre en œuvre, non destructive et offre de nombreuses possibilités pour estimer les valeurs de contraintes. Cette méthode est basée sur la théorie de l’acoustoélasticité (acé) [1,2], il s’agit de développer la théorie de l’élasticité à un ordre supérieur à deux et d’établir l’équation de Christoffel généralisée dont la résolution permet de décrire la propagation des ultrasons dans les matériaux soumis à une contrainte statique et d’évaluer les variations relatives des vitesses de propagations des ondes ultrasonores en fonction de la contrainte résiduelle ou appliquée.

Les expériences et les calculs, apparaissant dans la littérature évoquent l’acoustoélasticité le long des axes de symétrie [3,4,5,6] et dans les plans miroirs [7] et montrent que la variation relative des vitesses, longitudinale et transversales est une fonction linéaire de la contrainte statique, les coefficients de linéarités sont connus par les coefficients acoustoélastiques.

Afin d’avoir davantage de renseignements sur les liens entre la contrainte statique et les effets acoustoélastiques nous avons élaboré un programme écrit en langage MATLAB permettant, après la résolution numériquement de l’équation de Christoffel généralisée, de présenter les effets acoustoélastiques dans toutes les directions de propagation de l’onde.

Nous présentons dans cet article la distribution des coefficients acoustoélastiques ainsi que la variation de la biréfringence acoustique dans l’espace. Deux matériaux de symétrie cubique sont utilisés pour l’illustration de ces résultats, le silicium fortement anisotrope et l’aluminium, d’anisotropie plus faible. Et afin d’examiner l’effet de la direction d’application de la contrainte nous avons considéré une contrainte axiale et une biaxiale.

La représentation des effets acoustoélastiques en 3D en adoptant un code couleur variant du blanc au noir nous a permis de distinguer les régions et les directions de l’espace oùl’effet acoustoélastique est nul des régions oùl’effet est important. Ces phénomènes sont intimement liés, au matériau à son anisotropie et à la direction d’application de la contrainte.

II Base théorique:

L'acoustoélasticité évoquée dans plusieurs travaux antérieurs essentiellement dans le travail de Pao [1] et récemment dans le travail d'Ourak [4], traite de la propagation des ultrasons dans des matériaux subissant l'action d'une contrainte résiduelle ou appliquée. Le lien entre la contrainte et la déformation s'obtient par un développement de Taylor poussé au delà des termes linéaires [1,2,8]. L'application adéquate de la relation fondamentale de la dynamique et l'adoption de la solution onde plane conduit à une équation aux valeurs propres:

(1)

avec:

: le tenseur de Christoffel généralisé

le vecteur déplacement unitaire, le vecteur unitaire de la direction de propagation et V la vitesse de phase de l’onde acoustique.

Dans le tenseur G_jk les termes du tenseur contrainte apparaissent sur la diagonale et les constantes élastiques C_ijkl sont les constantes effectives s’exprimant en fonction des constantes élastiques de 2^ème , 3^èmeordre du milieu à l’état naturel et du tenseur de déformation dû à la contrainte statique par:

(2)

La matrice G étant symétrique, pour chaque direction de propagation et pour une contrainte statique donnée, on détermine les trois valeurs de la vitesse de propagation ainsi que leurs polarisations déduites respectivement des valeurs propres (rV²) et des vecteurs propres de la matrice G.

La plus grande des trois vitesses est quasi-longitudinale (V_L), sa polarisation est proche de la direction de propagation de l’onde acoustique, les deux autres vitesses sont quasi-transversale horizontale (V_TH) et quasi-transversale verticale (V_TV). Puisqu’on s’intéresse dans ce travail à la présentation des effets acoustoélastiques dans l’espace, les appellations TH et TV ne sont plus significatives les modes transverses seront notés T₁ et T₂. Dans la suite on notera par V⁰_L,T1,T2 et V_L,T1,T2 les vitesses de phase de l’onde ultrasonore; respectivement dans le milieu à l’état naturel et dans le milieu soumis à la contrainte statique.

Les coefficients acoustoélastiques sont définis[2,4,7] par:

(3)

avec:

(k) : direction de la contrainte s , i: direction de propagation, j: polarisation de l’onde.

Pour une direction de propagation donnée ces coefficients présentent les pentes des courbes représentant la variation relative de la vitesse de l’onde ultrasonore en fonction de la contrainte statique.

La biréfringence acoustique représente l’écart relatif entre les deux vitesses transversales de l’onde ultrasonore se propageant suivant une direction donnée, dans la littérature [1] elle est définie par:

(4)

avec V_T représente la plus petite valeur de V_TH et V_TV.

Pour un solide anisotrope, la biréfringence n’est nulle que si la direction de propagation coïncide avec un axe acoustique. Sous l’action d’une contrainte statique la valeur de B_i est modifiée, par la variation de la biréfringence on peut apporter des renseignements complémentaires sur la réponse acoustoélastique du matériau.

III- Géométrie du problème

Les phénomènes liés à la propagation des ultrasons sont couramment analysés par la représentation des surfaces lenteurs; elles permettent de reconnaître les axes purs [9], les axes acoustiques et autres. Dans ce travail on convient de porter l’effet acoustoélastique sur ces surfaces moyennant un contraste de couleurs variant du blanc en cas d’absence d’effet acé au noir là oùl’effet est extrême. Le présent travail se limite aux matériaux de symétrie cubique, les calculs sont accomplis dans la base cristallographique . La contrainte résiduelle considérée est soit de compression normale à la face (a, b) notée s₃₃, soit de cisaillement dans le même plan notée s₁₂. En vue d’observer les effets apparus sur les caractéristiques des modes longitudinal et transverses, deux matériaux cubiques d’anisotropie différente A_n=2c₄₄/c₁₁-c₁₂ sont retenus en occurrence l’aluminium ayant A_n =1,23 et le silicium avec A_n=1,56. Les caractéristiques mécaniques (densité volumique et constantes élastiques du 2^ième et 3^ième ordre ) liés à ces deux matériaux [9,10,11] sont groupés au tableau 1.

	Aluminium	Silicium
r (Kg.m-3)	2702	2329
C011(G Pa)	108	165.6
C012(G Pa)	62	63.9
C044(G Pa)	28.3	79.5
C111 (GPa)	-819	-795
C112 (G Pa)	-324	-445
C123 (G Pa)	101	-75
C144 (G Pa)	35	15
C155 (G Pa)	-422	-310
C456 (G Pa)	-1	-86
Table 1: densité volumique et constantes élastiques du 2ième et 3ième ordre.

L’illustration de la répartition de l’effet acé s’est faite sur des représentations en 3D des surfaces lenteurs. L’observation de ces surfaces, ayant subi un maillage de 5°, s’effectue suivant les angles adéquats q et j définissant respectivement la latitude et l’azimut. Les figures1 donnent une représentation du champ de contrainte résiduel ou appliqué s _ij ainsi que les paramètres angulaires q et j

a) champ de contrainte résiduel s33	b) champ de contrainte résiduel s12	c) les paramètres angulaires azimut et élévation
Fig 1:

IV- Résultats et discussions

Les effets acoustoélastiques changent toutes les caractéristiques mécaniques d’un matériau siégeant une contrainte statique. Ces effets dont l’ordre de grandeur se situe autour de 10^-3 et 10^-4 demeurent difficilement accessibles par l’expérience. Seuls quelques travaux récents rapportent des mesures des variations relatives des vitesses de phase dans des directions de haute symétrie uniquement [3,4]. Dans le présent travail on représente les variations relatives des vitesses de phase des modes L, T1 et T2 dans toutes les directions de l’espace cristallin ainsi que celles de l’écart B_i entre les vitesses des deux modes transverses.

Les calculs effectués révèlent des variations relatives de la vitesse pour le Si variant entre 10^-3 et 10^-4 suivant le mode et la contrainte appliquée. On remarque que la répartition des effets acé est compatible avec la symétrie, dans le cas de la contrainte s₃₃ la symétrie évolue du cubique au quadratique. L’examen du tenseur de rigidité effectif, montre que les écarts relatifs subis par les termes C₃₃ et C₆₆ sont faibles, ils se situent autour de 10^-2 %. Les autres termes subissent des écarts 10 fois plus élevé. Le cas de la contrainte résiduelle s₁₂ rend la symétrie monoclinique, les constantes élastiques relatives à la symétrie cubique demeurent inchangées, des constantes élastiques supplémentaires 1000 fois plus petites apparaissent à savoir C₁₆, C₃₆ et C₄₅.

Les représentations en 3D des effets acoustoélastiques relatif au cas s₃₃/Si montrent des noircissements au niveau des axes de haute symétrie. Ces directions changent avec la polarisation du mode, les figures 2 révèlent que les maxima des coefficients acé sont localisés autour des axes 4 pour le mode L, autour des axes 3 pour le mode T1 et autour des axes binaires diagonaux du plan (a, b) pour le mode T2. Les effets acoustoélastiques relatifs au cas s₁₂/Si sont du même ordre de grandeur que précédemment, la répartition est présentée aux figures 3. Les effets acé se situent au niveau des axes de symétrie, seuls les axes 4 semblent peu affectés par la contrainte de cisaillement. Pour le mode L, les effets acé changent de position, ils se situent au niveau des diagonales du plan (a, b) avec une largeur plus grande.

	Fig 2a: distribution de l’acoustoélasticité dans l’espace pour le mode L dans le Silicium soumis à une contrainte s33
	Fig 2b: distribution de l’acoustoélasticité dans l’espace pour le mode T1 dans le Silicium soumis à une contrainte s33
	Fig 2c: distribution de l’acoustoélasticité dans l’espace pour le mode T2 dans le Silicium soumis à une contrainte s33

	Fig 3a: distribution de l’acoustoélasticité dans l’espace pour le mode L dans le Silicium soumis à une contrainte s12
	Fig 3b: distribution de l’acoustoélasticité dans l’espace pour le mode T1 dans le Silicium soumis à une contrainte s12
	Fig 3c: distribution de l’acoustoélasticité dans l’espace pour le mode T2 dans le Silicium soumis à une contrainte s12

On introduit également dans la description des effets acé la biréfringence B_i, elle est maximale le long des axes 2, sa valeur s’élève, en absence de contrainte résiduelle ou appliquée, à 8,84 10^-2 pour le Si. Les noircissements apparaissant sur la figure 4 décrivent la répartition de B_i autour de l’axe ternaire [111].

Fig 4: distribution de la biréfringence dans l’espace pour le silicium à l’état naturel

La contrainte résiduelle en général fait perdre aux axes de symétrie d’ordre 3 et 4 leur caractère acoustique, la biréfringence devient ainsi non nulle. La représentation sur la figure 5 de la variation de ce paramètre autour de ces axes renseigne sur la répartition de l’effet acé. Dans le cas s₃₃ /Si, B_i subit un saut important au voisinage de [111] comparativement aux axes a et b; la variation maximale est de l'ordre de 1,9.10^-3 et atteint 1,75.10^-3 le long de l'axe [111]. Pour une contrainte de cisaillement appliquée au Si on observe un effet semblable au cas précédent, seulement que la variation de la biréfringence diminue, elle s'approche de 0 suivant les axes 4, et sa valeur maximale au voisinage de l'axe [111] ne dépasse pas 1,1.10^-3.

Ces mêmes effets acé sont analysés pour les contraintes s₁₂, s₃₃ dans le cas de l’aluminium doté d’une anisotropie plus faible. Les représentations en 3D décrivant la répartition de ces effets sont groupées aux figures 6. Il ressort que les noircissements traduisant des effets acé importants, sont plus étendus et localisés différemment que dans le cas du silicium. Cet élargissement s’interprète par un comportement de l’aluminium semblable à un matériau isotrope. Les réponses acé relatives aux deux cas de contraintes montrent des différences remarquables du point de vue étendue et localisation.

Fig 5: distribution de la variation de la biréfringence dans l’espace pour le silicium soumis à une contrainte s3

	Fig 6a: distribution de l’acoustoélasticité dans l’espace pour le mode L dans l’Aluminium soumis à une contrainte s33
	Fig 6b: distribution de l’acoustoélasticité dans l’espace pour le mode T1 dans l’Aluminium soumis à une contrainte s33
	Fig 6c: distribution de l’acoustoélasticité dans l’espace pour le mode T2 dans l’Aluminium soumis à une contrainte s33

V- Conclusion

L’analyse des effets acé révèlent des comportements différents selon le type de matériau et la nature de la contrainte résiduelle. L’introduction d’un code de couleur variant du noir au blanc dans la représentation en 3D a permis une visualisation, sur les surfaces lenteur, des effets acousto-élastiques liés à la présence d’une contrainte résiduelle homogène dans un matériau cristallisé. En présence d’une forte anisotropie les effets se localisent suivant les axes de symétrie. La délocalisation de ces mêmes effets traduit la présence d’un comportement proche de l’isotrope. Des différences apparaissent également pour les deux types de contraintes compression-cisaillement. Ces résultats numériques ont besoin d’être confirmés par l’expérience en vue d’une meilleure évaluation de la théorie de l’acoustoélasticité.

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